Grundlegende Rechenverfahren

Addieren am Rechenrahmen

Der sog. Rechenrahmen mit 10 × 10 Perlen ist dem russischen Abakus (Stschoty) nachempfunden. Während der russische Abakus jedoch für alltägliche Rechnungen im Stellenwertsystem tatsächlich verwendet wurde/wird, benutzt man den Rechenrahmen bei uns i.Allg. nur zur Veranschaulichung in Klasse 1 und 2 der Grundschule im Zahlbereich bis 100 und insbesondere nicht im Sinne eines Stellenwertsystems.

Bei der Verwendung des Rechenrahmens als Abakus – also im Stellenwertsystem – wird die Zahl 123 z.B. so eingestellt:

Zur Anpassung an unsere Zahlenschreibweise drehen wir den Rahmen um 90°:

Die Rechnung 123+48 kann wie folgt durchgeführt werden: Um 8 Einer addieren zu können, werden zunächst alle 7 Perlen aus dem Vorrat verwendet. Dann wird gebündelt, und anschließend wird noch 1 Einer hinzugefügt. Zur Addition der 4 Zehner schiebt man 4 Kugeln nach oben. Eleganter geht es aber so: Statt 8 Einer umständlich zu addieren fügt man bei diesem Vorgehen 1 Zehner hinzu und nimmt 2 Einer weg. Die Addition der 4 Zehner erfolgt wie gehabt. (Siehe dazu auch „Wechselspiele“: )

Vertiefungsaufgabe:
Die Subtraktion zweier Zahlen im Zehnersystem kann fast gänzlich durch eine Addition berechnet werden. Dazu bildet man zunächst das sog. Komplement des Subtrahenden und addiert es zum Minuenden. Dabei ist das Komplement einer n-stellige Zahl a der Unterschied zur ebenfalls n-stelligen Zahl 999…9.
Beispiel: Das Komplement von 87 ist 12 (= 99 − 87). Zur Berechnung von 235 − 87 (=148) addiert man zunächst 235 und 12 (=247); und von diesem Zwischenergebnis subtrahiert man 100 und addiert 1:

235 − 87 = (235 + 12) − 100 + 1

b − a = (b + C(a)) − 10ⁿ + 1.

Hier werden die gewünschten 5 Einer separiert und was übrig ist durch Auffüllen und Bündeln in einem Schritt beseitigt.

Kleine Vielfache einer Zahl können durch wiederholte Addition berechnet werden:

Z.B. im 8er-System die Aufgabe	2 × 407 = ?
Oder im 6×10er-System die Aufgabe	3 × 1;47;58 = ?
(Ziehen Sie mit der Maus über die Aufgabe)
Übungsaufgabe:
Berechnen Sie im 16er-System	4 × 356 =

Übungsaufgabe:

Halbieren Sie 1;43;52 (im 6×10er-System).

Von besonderem Reiz ist das Verdoppeln und Halbieren am Rechenrahmen. Denn speziell an diesem Gerät kommt diesen beiden Rechenoperationen eine gewisse Eigenständigkeit gegenüber anderen Operationen des Vervielfachens und Teilens zu – wie wir gleich sehen werden (s.a. „Wechselspiele“, , ).

Zum „Forschen“: Verdoppeln Sie am Rechenrahmen zunächst 123    und dann 246  , .

Das Verdoppeln von 123 ist eine Trivialität. Bei 246 werden wir zwar mit dem Problem der Stellenüberschreitung konfrontiert, aber das ist uns von der Addition her schon bekannt, und wir kennen dafür mehr oder minder geschickte Strategien zur Lösung.

Während des Verdoppelns von 246 kann jedoch der Eindruck entstehen, dass bei den Zehnern nicht 4 sondern 5 zu verdoppeln sind, da die Verdopplung der 6 Einer zu einer weiteren Perle bei den Zehnern geführt hat. Das gilt natürlich nicht nur bei dieser Aufgabe sondern allgemein: Wenn wir eine Zahl am Rechenrahmen einstellen, und verdoppeln sie wie gezeigt, dann verändern wir beim Bündeln an einer Stelle auch die Stelle, die als nächstes zu verdoppeln ist. Das muss nicht sein!

Zum „Weiterforschen“: Verdoppeln Sie die Zahlen 734 sowie 861 am Rechenrahmen, indem Sie jeweils mit der höchsten Stelle beginnen. , . Fällt Ihnen dabei etwas auf?

Wenn wir z.B. 7 verdoppeln, dann schieben wir letztlich so viele Kugeln zurück in den Vorrat, wie dort schon liegen nämlich 3. Und weil dieses Prinzip allgemein beim Verdoppeln von 5, 6, 7, 8 und 9 gilt, kann man sich viel Kopfrechnen beim Verdoppeln am Rechenrahmen sparen und diese Operation weitestgehend mechanisieren:

Sind weniger als 5 Kugeln an einem Draht eingestellt, dann füge ich genau so viele hinzu. Sind es aber 5 oder mehr, dann nehme ich so viele weg, wie im Vorrat liegen, und füge an der nächst höheren Stelle eine Kugel hinzu.

Betrachten wir uns nun das Halbieren am Rechenrahmen.

Zum „Forschen“: Halbieren Sie zunächst eine Zahl ohne und dann eine mit Stellenüberschreitung (z.B. 246 und 146).  ,  .

Das Halbieren ohne Stellenüberschreitung ist ebenso trivial wie die entsprechende Rechnung beim Verdoppeln. Bei Zahlen, die eine Stellenüberschreitung erfordern (mit ungeraden Ziffern), sehen wir schnell ein, dass es weitaus geschickter ist, mit den Einern zu beginnen, anstatt mit der höchsten Stelle, also umgekehrt wie wir es vom schriftlichen Divisionsverfahren her gewohnt sind.

 Wenn wir die Summe 268+123 (=391) bilden, indem wir zunächst 268 am Abakus legen, dann 123 und anschließend bündeln, dann können wir auch versuchen 123 vom eben erhaltenen Ergebnis 391 wieder wegzunehmen (391–123).

391 − 123 1 wegnehmen (trivial) 2 wegnehmen (trivial) 3 wegnehmen (?)

Um aus dem rechten Feld 1 Plättchen wegnehmen zu können, entbündeln wir einen Zehner – wir machen sozusagen die Bündelung rückgängig, die wir vorhin bei der Addition 268+123=391 vorgenommen hatten.

Übungsaufgabe: Berechnen Sie

1. im 16er-System: 563 – 345    
2. im 8er-System: 563 – 345    
3. im 2er-System: 1001 – 11    
4. am Rechenrahmen: 391 – 123 = 268.  A)  B)

Bemerkung zu d): Wie bei der Addition gibt es auch bei der Subtraktion am Rechenrahmen zwei Strategien zur Stellenüberschreitung (hier an der Einerstelle, minus 3).

• Variante A: minus 1, dann entbündeln, und dann noch minus 2.
• Variante B: minus 10, plus 7.

Vielfache einer beliebigen Zahl n berechnen wir bislang, indem wir n so oft addieren, wie es in der Aufgabenstellung verlangt ist:

2-mal n: n + n,

3-mal n: n + n + n,

 …

Die Möglichkeit, das 10-fache einer Zahl durch die übliche Veränderung an den Ziffern zu bestimmen, ist für Kinder überraschend, weil es entsprechend einfache Regeln für andere Vielfache wie z.B. das 11-fache oder das 9-fache nicht gibt. (Man könnte bei der Multiplikation mit 11 z.B. erwarten, dass eine „1“ angehängt wird.)

  Kinder, die das 10-fache von Zahlen anfangs noch durch wiederholten Addition am Schulabakus bestimmen, erkennen recht schnell folgende Regel zur Verkürzung des Verfahrens:

Am Schulabakus erhält man das 10-fache einer Zahl, indem man diese Zahl um eine Stelle nach links verschiebt.

Wie lässt sich die Gültigkeit dieser Regel auf andere Stellenwertsysteme ausweiten? Suchen Sie nach geeigneten Beispielen.

102 × 1012

108 × 1238

Am Schulabakus erhält man in jedem Stellenwertsystem das 10-fache einer Zahl, indem man diese Zahl um eine Stelle nach links verschiebt.
Dabei ist 10 selbst als Zahl dieses Systems anzusehen: 10_b (b gibt die Bündelgröße des Systems an).

Mit der Kenntnis des 10-fachen einer Zahl n im Zehnersystem können wir uns weitere Vielfache dieser Zahl erschließen, z.B.

Wie sind diese Rechenstrategien nun auf andere Stellenwertsystem zu übertragen? Betrachten wir dazu die Zahl 123 im 8er-System:

• 11 × 123 = 10 × 123 + 123   (→ Rechnung)
   
•  7 × 123 = 10 × 123 – 123   (→ Rechnung)
   
•  4 × 123 = 10 × 123  /  2     (→ Rechnung)
   

Mit den bisher kennengelernten Rechenverfahren (Addition, Subtraktion, Verdoppeln, Halbieren, Verzehnfachen) kann man eigentlich schon alle schulrelevanten Aufgaben zur Multiplikation natürlicher Zahlen berechnen (wobei wir auch die Kenntnis des 100-fachen, 1000-fachen usw. voraussetzen). Um z.B. 8 × 95 (im Zehnersystem) zu berechnen, könnte ein Schüler jeden der im Folgenden skizzierten Rechenwege verwenden:

Oftmals sind solche Rechenwege aber recht langwierig und bringen keine Vorteile gegenüber der wiederholten Addition. Im Gegenteil: Bei Kenntnis des 1×1 lässt sich die wiederholte Addition sogar schneller durchführen. Betrachten wir dazu die Aufgabe 7 × 685 im Zehnersystem.

Wollen wir in einem fremden Stellenwertsystem ähnlich effizient rechnen, so müssen wir uns zunächst die entsprechende 1×1-Tabelle bereitstellen. Im 8er-System z.B. sieht sie wie folgt aus:

Zur Berechnung eines Produkts mit mehrstelligem Multiplikator, wenden wir die Multiplikation mit 10 (bzw. 100, 1000 usw.) an. Um etwa 64₈ × 573₈  zu berechnen, kommt als neuer Schritt nur die Berechnung von 60₈ × 573₈ hinzu. Der Rest der Aufgabe läuft wie gehabt:

64₈ × 573₈      = 60₈ × 573₈ + 4₈ × 573₈      = 10₈ × (6₈ × 573₈) + 4₈ × 573₈ 

64₈ × 573₈      = 10₈ × 4342₈ + 2754₈     = 43420₈ + 2754₈     = 46374₈

Durch kompaktere Schreibweisen gelangt man von diesen Gedanken ausgehend zu ähnlichen Verfahren wie dem üblichen Schulverfahren (siehe Wechselspiele ).
Nachfolgend ein Vorschlag von uns zur Schreibweise bei fremden Stellenwertsystemen:

Es geht uns aber auch hier nicht darum, möglichst kompakte und schnell zu notierende Verfahren zu entwickeln. Wir wollen bei allen Rechnungen stets deren Begründung im Auge behalten, was sich ab einem gewissen Grad der Automatisierung nicht mehr gewährleisten lässt.

Zum Öffnen der pdf-Datei bitte hier klicken: → „Rechnen mit Kopf und Händen.“

Aufteilen in Einzelportionen:

In einer Tüte Gummibärchen sind 120 Stück drin. Peter isst jeden Tag 13 Stück davon. Wie lange hält die Tüte?

Das Divisionszeichen ÷ wurde wohl erstmals von J.C.V. Hoffmann im 19. Jh. vorgeschlagen, um eine Division im Sinne des Aufteilens zu kennzeichnen (Ein wiederholter Vorschlag zur Beseitigung einer bedauerlichen Verwirrung in der niederen Arithmetik betr. das „Dividieren“, Zeitschr. für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, 1891, 22. Jahrg., S. 179-181).

3 ÷ 2 = 4 ÷ 3 ?
Im Sinne der obigen Definition ist diese Aussage richtig! Denn beide Divisionen ergeben „1 Rest 1“. Wegen des offensichtlichen Widerspruchs zur entsprechenden Bruchgleichung wurde vielfach der Versuch unternommen, die Division mit Rest anders zu schreiben. Das Problem ist jedoch nicht die Schreibweise des Ergebnisses, sondern die Tatsache, dass die Division mit Rest nicht die gleiche Rechenoperation ist wie die Division von rationalen Zahlen (Brüchen). Im ersten Fall besteht das Ergebnis nämlich aus zwei natürlichen Zahlen (Quotient und Rest) und im zweiten aus einer rationalen Zahl (1,5 ≠ 1 Rest 1 ≠ 1,33…). Unterrichtspraktisch kommt der vermeintliche Widerspruch ohnehin nicht vor, da u.E. die meisten Schüler die Division von rationalen Zahlen als eine Präzisierung oder Weiterentwicklung der Division mit Rest auffassen.

Übungsaufgabe:
Berechnen Sie im 8er-System (durch wiederholte Subtraktion): 100₈ ÷ 12₈ = ?  → Lösung

Zurück zu den Gummibärchen:
Schneller geht die Aufgabe zu lösen, wenn man etwa zwei Portionen auf einmal subtrahiert:

„Zu Anfang sind es 120 Gummibärchen. Nach zwei Tagen sind es noch 120 – 26 = 94 Stück. Nach weiteren zwei Tagen sind es noch 94 – 26 = 68 usw.“

120 – 26 = 94  (2×) 94 – 39 = 55 (3×) 55 – 52 = 3 (4×)           9×

Hinter jeder Subtraktion notieren wir, welches Vielfache der Portionsgröße subtrahiert wurde, und erhalten wiederum: 120 ÷ 13 = 9 Rest 3.

Solche Rechnungen (120 ÷ 13) können Kinder im zweiten Schuljahr an Abakus/Stellentafel ausführen!

Übungsaufgabe:
Berechnen Sie im 8er-System durch wiederholte Subtraktion – aber diesmal unter Verwendung von Vielfachen des Divisors: 100₈ ÷ 12₈ = ?  → Lösung

Der letzte große Schritt zur Berechnung beliebiger Divisionsaufgaben besteht in der Verwendung des 10-fachen des Divisors (sowie des 100-fachen …). Betrachten wir dazu folgendes Beispiel:

1200 ÷ 13 = ?
1200	–	130	=	1070	(10×)
1070	–	390	=	680	(30×)
680	–	520	=	160	(40×)
160	–	130	=	30	(10×)
30	–	26	=	4	(2×)
					92×
⇒ 1200 ÷ 13 = 92 Rest 4

Übungsaufgabe:
Berechnen Sie im 8er-System: 1234₈ ÷ 14₈ = ?  → Lösung

Um zur üblichen Notationsform der Division zu gelangen,

Sie können die obige Frage auch algebraisch angehen: → hier

Übungsaufgabe:
Wie lautet die Lösung von 123 / 3 im 16er-System? Was ist 1;23 / 3 im 6×10er-System?

Mit etwas Routine löst man sich schnell von der konkreten Handlung am Abakus – denkt sich diese nur noch – und führt die Rechnung mithilfe schriftlicher Notizen etwa so aus:

Übungsaufgabe:
Berechnen Sie so oder so ähnlich im 16er-System: 7081₁₆ / 5   → Lösung

Um den Schreibaufwand zu reduzieren, notieren wir den Quotienten nur einmal. Also schreiben wir (wieder im Zehnersystem) statt:

Übungsaufgabe:
Berechnen Sie so oder so ähnlich im gewohnten Zehnersystem: 1234 / 7.    → Lösung

Obgleich dieses Verfahren durch seine kompakte Notation überzeugt, verlangt es vom Schüler sehr viel Kopfarbeit. Wir wollen uns deshalb eine Variante überlegen, die den Kopf ein wenig entlastet.

Das Verteilen am Abakus ermöglicht eine einfache Herstellung von Kommazahlen (Fachausdruck: Systembrüche)! Dazu wird der herkömmliche Schulabakus um einige Felder nach rechts erweitert. Damit man nachher noch weiß, wo das erste Feld war, legt man rechts davon einen Gegenstand als Markierung. Das Video zeigt in diesem Sinne die Rechnung 53 / 4. 
In anderen Stellenwertsystemen ist lediglich die jeweilige Bündelungsregel anders. Die Division z.B. von 1 / 4 läuft wie folgt:

Übungsaufgabe:
Berechnen Sie 1 / 4 im 8er-System und im 16er-System.

Auch unendliche periodische Kommazahlen (Systembrüche) lassen sich am Schulabakus leicht einführen. Das Video zeigt die Berechnung von 1 / 3 im 8er-System. 

Übungsaufgabe:
Berechnen Sie im 6×10er-System 1 / 7.
Ergebnis: 1 / 7 =
(Ziehen Sie mit der Maus über die Aufgabe)

Zur Berechnung von Aufgaben des Typs 1/n bietet sich in Anlehnung an die Handlungen an der Stellentafel folgende Notation an (hier am Beispiel 1/7 im Zehnersystem):

 1/7 = 0 Rest 1
10/7 = 1 Rest 3
30/7 = 4 Rest 2
20/7 = 2 Rest 6
60/7 = 8 Rest 4
40/7 = 5 Rest 5
50/7 = 7 Rest 1
10/7 = ...

⇒ 1/7 = 0,142857…

Die Division zweier natürlicher Zahlen führt entweder zu einem endlichen Systembruch oder zu einem unendlichen, der aber periodisch ist.

• Die Primfaktorzerlegung von 10ⁿ – 1 (Zehner- und Achtersystem)
• „Was können wir über die Dezimalbruchentwicklung von 1/17 sagen, ohne sie konkret zu berechnen?“

Quersummenregeln

Eine Zahl ist genau dann restlos durch 9 (bzw. 3) teilbar (d.h. sie ist ein Vielfaches von 9 bzw. 3), wenn ihre Quersumme durch 9 (bzw. 3) teilbar ist.

Um die Quersumme einer Zahl n zu bilden, die am Abakus liegt, legt man alle Plättchen ins erste Feld. Bezogen auf einzelne Plättchen entspricht dies im Zehnersystem den Rechenoperation –10+1 (= –9), –100+1 (= –99) etc. Also wird bei der Quersummenbildung ein Vielfaches von 9 subtrahiert. Subtrahiert man schließlich auch von dieser Quersumme ein möglichst großes Vielfaches von 9, dann hat man insgesamt nur Vielfache von 9 subtrahiert und was übrig bleibt, ist der Rest der Ausgangszahl n bei Division durch 9.

(Siehe auch:

Übungsaufgabe:

1. Formulieren und begründen Sie die entsprechende Quersummenregel im 8er-System.
2. Beim Bilden der Quersumme der Zahl 1230 im Zehnersystem, Q(1230)=6, subtrahiert man 1·999 (=9·111), 2·99 (=9·22) und 3·9. Also gilt 1230 = 9·111 + 9·22 + 9·3 + 6, und damit ist 1230÷9 = (111+22+3) Rest 6.
   Formulieren und begründen Sie eine entsprechende Aussage für die Zahlen 1230 und 111 1111 im 8er-System.

Um eine Zahl im Zehnersystem auf Teilbarkeit durch 11 zu testen, bildet man die alternierende Quersumme: Alle Plättchen, an ungeraden Stellen (1. Stelle, 3. Stelle, …) werden ins erste Felde gelegt. Das entspricht den Subtraktionen –99 (= –11·9), –9999 (= –11·909), …. Alle Plättchen an geraden Stellen (2. Stelle, 4. Stelle, …) kommen ins 2. Feld, was den Subtraktionen –990 (= –11·90), –99990 (= –11·9090), … entspricht. Schließlich wird die Differenz zwischen der Anzahl der Plättchen im 1. und im 2. Feld gebildet. Man nimmt also aus dem 1. und 2. Feld gleichviele Plättchen heraus, bis eines dieser beiden Felder leer ist – d.h. man subtrahiert ein möglichst großes Vielfaches von 11. Subtrahiert man schließlich auch von dieser alternierenden Quersumme ein möglichst großes Vielfaches von 11, dann hat man insgesamt nur Vielfache von 11 subtrahiert und was übrig bleibt, ist der Rest der Ausgangszahl n bei Division durch 11.

Übungsaufgabe:
Formulieren und begründen Sie eine entsprechende alternierende Quersummenregel im 8er-System?

Der Grundgedanke bei der Quersummenbildung findet überraschenderweise eine Anwendung bei folgender Zahlenspielerei (aus: „PIK AS, TU-Dortmund“):

Links zu Umkehr/Spiegel-Zahlen und ANNA-Zahlen:

• „Umkehrzahlen“ (PIK AS)
• ebenfalls „Umkehrzahlen“ (PIK AS)
• ANNA-Zahlen (Powerpoint-Datei)
• „Wir forschen zu ANNA-Zahlen“

Übungsaufgabe:
Welche Differenzen ergeben ANNA-Zahlen im 16er-System?

Auf der Quersummenregel und der alternierenden Quersummenregel beruhen die → 9er- und 11er-Probe, die dazu dien(t)en, Rechenfehler bei den Grundrechenarten zu erkennen.
Siehe dazu:

• „Rechnen ohne Computer – 9er- und 11er-Probe“
  Tippfehler beim 1. Beispiel: 683719 statt 683718:

  

• 9er-Probe für 4431336÷13
• Anwendung der Teilbarkeitsregeln