Mathematikunterricht
steht leicht in der Gefahr, in ein unstrukturiertes Abarbeiten von
Aufgaben
abzugleiten, wenn Kriterien fehlen, um entscheiden zu können,
welche Inhalte
und welche Verfahren mehr und welche weniger bedeutungsvoll sind. Stellenwertdarstellung
von Zahlen, sie
sind Beispiele für fundamentale Ideen, die in der
Grundschulmathematik eine
Rolle spielen. Als stark miteinander vernetzte mathematische Konzepte
können
sie zu einem besseren Verständnis der Mathematik und der realen
Welt führen.
Darin sind sie den traditionellen Inhaltsbereiche Geometrie,
Arithmetik,
Sachrechen/Größen, die stark in sich abgegrenzt sind, weit
überlegen. Da
die Fundamentalen Ideen keine in sich klar gegeneinander abgegrenzten
Bereiche
darstellen, ist es wichtig, dass unter Lehrkräften immer wieder
darüber gesprochen
wird, worauf es im Mathematikunterricht wirklich ankommt, und welche
Fragestellungen
und Unterrichtsvorhaben sich besonders eignen, entdeckendes Lernen zu
ermöglichen
um den strukturellen Kern der Mathematik zu erschließen. Meines
Wissens gibt es bisher weder eine allseits akzeptierte Definition von
FI
noch eine mehrheitlich akzeptierte Liste von FI. Immerhin gibt es
interessante
Gemeinsamkeiten in den Listen verschiedener Autoren. Diese fehlende
Übereinstimmung
liegt m.E. in der Natur der Sache, sie ist auch nicht so beklagenswert,
wie
es aussehen könnte. Wichtig ist, dass immer wieder öffentlich
darüber nachgedacht
und gestritten wird, worauf es denn im Mathematikunterricht wirklich
ankommen
soll, was den Kern ausmacht. Die
Diskussion um Begriff und Funktion von FI begann bei uns im Zuge der
Rezeption des Buches Nach
Schreiber sollen sich FI durch -
Algorithmus Schweiger
gibt einen sehr informativen Überblick über die Geschichte
der einschlägigen Diskussion, ein lesenswerter Beitrag! Allerdings:
es gibt m. W. keine grundschulspezifischen Arbeiten über das Thema. -
Zahl (Arithmetik) Seit
dem 17. Th. gibt es als 5. Quellgebiet -
Zufall (Stochastik) Diese "universellen Ideen" markieren allenfalls Teilgebiete, die in der Schule Berücksichtigung finden sollen.
Zahlen
als gedankliche Objekte sind uns nur in Symbolen verfügbar. Das
gilt natürlich
auch für die natürlichen Zahlen, die in der GS die Hauptrolle
spielen. Freilich
gibt es unerschöpflich viele Verkörperungen,
Repräsentationen, anschauliche
Bilder von Zahlen, die auch notwendig sind zur Sinnerfassung und die
die
Anwendungsfähigkeit zum Ausdruck bringen. Zahlen gehen nicht durch
Abstraktionen
aus der Wirklichkeit hervor, sie werden eher in reale Konstellationen
hinein
gedeutet. Das geht aber nur, wenn man für das gemeinte
Gedankending einen
Namen, ein Symbol hat. Mit
Recht werden Lesen, Schreiben und Rechnen als die grundlegenden
Kulturtechniken
bezeichnet, und sie werden immer den Kern des Curriculums der GS
ausmachen.
In allen drei Fällen geht es darum, Symbolsysteme kennen und
gebrauchen zu
lernen. Das
Besondere an der schriftlichen Stellenwertdarstellung von Zahlen als
Symbolik
ist ihre nicht mehr verbesserbare Systematik, die auch die Grundlage
ihrer
hochgradigen Effizienz darstellt: Allein mit einer endlichen Zahl von
Grundzeichen
-Ziffern -(mindestens zwei, bei uns im Dezimalsystem zehn) wird jede
Zahl
unter Nutzung des Schreibraumes (Stelle!) als Komplex von Ziffern so
dargestellt,
dass aus der Darstellung Information über die dargestellte Zahl
gewonnen
werden kann. Die Kodierung von Wissen über Zahlen in die
Ziffernsprache wie
umgekehrt, das Dekodieren von "Texten" in der Ziffernsprache, also das
Verstehen
der Texte, sind Grundaufgaben im MU der GS. Die
hohe Effizienz der Stellenwertdarstellung zeigt sich vor allem im
mündlichen,
halbschriftlichen und - in reiner Form - schriftlichen Rechnen. Ein
unersetzbares
didaktisches Mittel, Stellenwertdarstellung und stellenwertgerechtes
Rechnen
zu verstehen und am Verständnisgewinn aktiv beteiligt zu sein, ist
der Gebrauch
des Rechenbrettes (Abakus) - unabhängig vom historischen Aspekt.
Dieses Abakusrechnen
ist der enaktive Umgang mit Zahlen in der Stellenwertdarstellung, man
kann
den Abakus als einen einfachen aber durchsichtigen Computer ansehen.
Viele
Anregungen gibt es in Die
Verbindung Stellenwertsystem - stellenwertgerechtes Rechnen - Computer
-
Algorithmus belegt in besonderer Weise das Fundamentale. Nebst dem
Abakus
können und sollten weitere maschinenartige Realisationen genutzt
werden,
etwa der "Kilometerzähler". Das
kreative Moment in der scheinbar knochentrockenen
Stellenwertdarstellung
müsste viel stärker als bisher zur Geltung kommen, etwa durch
Aufgaben der
Art: Was fällt dir an den Quadratzahlen (genauer: am
Ziffernwort/Schriftbild
der Quadratzahlen) auf ? Betrachte die Einerstelle. - Wie erkennst du
am
Schriftbild, ob eine Zahl durch 2,3,4,5, ...teilbar ist? - Kann man 100
als
Summe von Zahlen darstellen, wobei aber jede Ziffer genau einmal
auftritt?
- Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, in denen nicht die Ziffer 7
vorkommt?
- Wieso treten im Einmaleins der 3 alle Ziffern an der Einerstelle auf?
Bei
welchen Reihen ist das auch so/nicht so? Usw. Ein
spezieller Aspekt des kreativen Potenzials des Stellenwertsystems:
Schülerinnen
können eine Ahnung von der Unendlichkeit der Zahlenwelt
verspüren. Dass es
keine größte Zahl geben kann, man immer noch
größere Zahlen angeben kann
(obwohl es nur 10 Ziffern gibt!), garantiert das Symbolsystem, es ist
unerschöpflich.
Nach heutiger Einschätzung gibt es im gesamten
Weltall 1080 (1 mit 80 Nullen) langlebige Elementarteilchen, das ist
aber
bedeutend weniger als 1081 und immer noch nichts gegenüber
Unendlich. Schließlich:
Die Stellenwertdarstellung von natürlichen Zahlen in der GS bleibt
als fundamentale
Symbolik in den Zahlbereichserweiterungen der Sekundarstufen erhalten. Symmetrie
kommt als FI in vielen Vorschlägen vor. Und in der Tat handelt es
sich um
eine Idee, deren Weite, Fülle und Sinn besonders eingängig
dargestellt werden
kann. Über
Symmetrie gibt es eine Unmenge Literatur. Klassiker sind in meinen
Augen: Man
findet da sehr viele Anregungen für den MU , obwohl diese
Bücher nicht von
Schulleuten und auch nicht direkt für die Schule geschrieben
wurden. Eine
systematische didaktische Transformation des Symmetriewissens für
die Belange
der GS steht noch aus. Hier sei nur noch auf einen Punkt hingewiesen.
Die
"Behandlung" des Themas Symmetrie in der GS (die natürlich
handlungs- und
ästhetikorientiert sein muss), darf sich nicht auf Feststellungen
beschränken,
etwa von der Art: Jedes Rechteck hat zwei Symmetrieachsen (Faltachsen),
die
das Rechteck in 4 gleiche (deckungsgleiche) Teilrechtecke zerlegen. Dass
wir in der Tierwelt (den Menschen eingeschlossen) so gehäuft
achsensymmetrische
Querschnitte, oft sogar in erstaunlicher Exaktheit, antreffen,
achsensymmetrische
Längsschnitte dagegen fast gar nicht, hängt auch mit der
Anpassung der Lebensweise
an das Schwerefeld der Erde zusammen: achsensymmetrische Querschnitte
ersparen
Energie beim Aufrechterhalten der Gestalt, was man bis zur
Schmerzgrenze
an sich selbst erleben kann. Und
die Asymmetrie in Längsschnitten ist in der einseitigen
Fortbewegung (immer der Nase nach) begründet. Ein
besonders lohnenswertes Untersuchungsfeld für Symmetrie ist die
Welt der
von Menschen hergestellten Dinge ( Häuser, Möbel,
Behältnisse, Instrumente,
Baumaterialien usw.). Wieso sind z.B. Ziegelsteine quaderförmig?
Was spricht
für rechteckige, was für quadratische, was für
kreisformige Tischplatten? Ein
Algorithmus ist so etwas wie ein Vorgehensplan, ein Rezept, ein
Normalverfahren,
eine gute Methode, ein Routineweg, um maximal sicher und effizient eine
bestimmte
Aufgabe zu erledigen. Etwas genauer: Ein Algorithmus ist eine geordnete
Folge
von klaren Vorschriften (Befehlen) und (evtl.) Abfragen, deren
Einhaltung
von einer gegebenen Startsituation (Gegebenes) zu einer angestrebten
Zielsituation
(Gesuchtes) gelangen lässt. Alltägliche Beispiele einfacher
Art sind Telefonieren,
Einkaufen, Kaffee kochen usw. , schon anspruchsvoller ist das
Zusammenbauen
eines Schrankes aus gelieferten Teilen (meist wird eine Beschreibung
mitgeliefert,
die, wenn sie gut ist, einen Algorithmus darstellt). Es
gibt unter dem Blickwinkel der möglichen Algorithmisierung eine
riesige Bandbreite
von Aufgaben (innerhalb und außerhalb der Mathematik): Von gar
nicht algorithmisierbar
über zahlreiche Zwischenstufen von Teilalgorithmisierbarkeit bis
hin zur
vollen Algorithmisierbarkeit. Der Hauptbestandteil der beruflichen
Ausbildung
besteht im Erlernen von mehr oder weniger algorithmisierten Routinen
für
die typischen berufsspezifischen Aufgaben. Wer solche Routinen sicher
beherrscht,
gilt als Profi, u.U. als Experte. Entscheidend ist hier die Effizienz.
Anfallende
Aufgaben sollen sicher und mit möglichst wenig Aufwand erledigt
werden. Allerdings,
in unserer Zeit wandeln sich die Aufgaben, gelernte Routinen reichen
oft
nicht mehr für das ganze Berufsleben aus. Was
aber macht Algorithmus als FI für den Mathematikunterricht in der
GS aus?
Inwiefern sind Algorithmen von grundlegender Bedeutung? Man
denkt sogleich an die Verfahren des mündlichen, halbschriftlichen
und schriftlichen
Zahlenrechnens. Tatsächlich bilden diese Prozeduren das Zentrum
algorithmischen
Arbeitens in der GS. Aber in welchem Sinne? Seitdem
gilt die fortschreitende (und von den Schülerinnen getragene!)
Schematisierung
als ein wichtiges Lernprinzip für den MU überhaupt. Die
früher übliche allein
vom Lehrer inszenierte schwierigkeitsgradig gestufte Vorgehensweise
(zuerst
Aufgaben mit einstelligem Multiplikator, dann Aufgaben mit Stufenzahlen
als
Multiplikator usw.) wird hier radikal aufgegeben. Das
anspruchsvollste Unternehmen im MU der GS ist die schriftliche
Division.
Es gibt Bestrebungen, Dividieren in der GS auf einstellige Divisoren zu
beschränken
und schwierigere "Fälle" dem MU der Sekundarstufe zu
überlassen. Das darf
nicht hingenommen werden, vor allem dann nicht, wenn dabei auf die
mangelnde
Lebensbedeutsamkeit verwiesen wird. (Wer wird schon einmal in seinem
späteren
Leben eine schriftliche Division ausführen müssen?) Schließlich:
Algorithmus als FI ist nicht auf das übliche Zahlenrechnen
beschränkt. Man
kann z.B. in der GS auch algorithmusartige Verfahrensweisen (durch
fortschreitende
Schematisierung) zum lexikographischen Ordnen allgemein entwickeln oder
zur
geometrischen Frage, auf welche Art man allein über Falten und
Schneiden
aus einem rechteckigen Blatt Papier ein gleichseitiges Dreieck gewinnen
kann.
Der Aufschrieb in Form von Flussdiagrammen kann die Vorstellung vom
algorithmischen
Prozessieren bestärken. Allein
schon das Wortfeld "messen" weist auf Weite, Fülle und Sinn hin:
abmessen, vermessen, maßvoll, maßlos, unangemessen,.... Im
MU der GS ist Messen, und zwar empirisches (was leider stark
vernachlässigt
wird) und gedankliches Messen, die unverzichtbare Basis zum Aufbau von
Größenbegriffen
(Stückzahlen, Geldwerte, Längen, Flächeninhalte,
Rauminhalte, Winkel, Zeitspannen,
Temperaturen, Gewichte, Geschwindigkeiten) und damit für das
Verstehen von
Phänomenen unserer Welt, uns selbst mit Leib und Seele
eingeschlossen. Wie
das Messen in seinen verschiedenen Facetten und Formen den gesamten MU
der
GS durchziehen sollte, habe ich in zahlreichen Zeitschriftenartikeln
und
in dem Büchlein Sachrechnen in der Grundschule, Cornelsen
Verlag versucht darzustellen. Haupttendenz: So lebensnah wie
möglich (aber nicht noch lebensnäher) und so mathematiknah
wie förderlich. Hier
geht es um Begriffe wie Nachbarschaft, Umgebung, Begrenzung,
Beschränkung,
Zusammenhang u.ä., also Begriffe, die in der Alltagserfahrung
Bedeutung haben
und in verschiedener Weise mathematisch ausdifferenziert werden
können (am
systematischsten in der mathematischen Disziplin Topologie). Im
Arithmetikunterricht der GS gehören Überschlagen, Runden und
Näherungsrechnen
zum Standard. Es sollte speziell zur guten Gewohnheit werden,
Aufgabenlösungen
durch Überschläge zu kontrollieren. Dazu sind Erfahrungen mit
Zahlabschnitten
(Intervallen) wichtig und mehr und mehr bewusst zu machen. Beispiel:
Wenn
zwei Zahlen, die zwischen 20 und 30 liegen, miteinander multipliziert
werden,
dann ist das Ergebnis eine Zahl zwischen 400 und 900. Oder: Wenn eine
Zahl
ganz in der Nähe von 100 liegt, dann liegt ihr Doppeltes auch in
der Nähe
von 200 (Keim der Stetigkeit!). Im
Sachrechnen haben wir es in der Regel mit Näherungswerten oder mit
zufallsbehafteten
schwankenden Werten zu tun. Es muss immer wieder die Reichweite von
Aussagen
über Dinge dieser Welt, die quantitative Angaben enthalten,
diskutiert werden.
Was bedeutet es z. B. , wenn die Entfernung zwischen zwei Städten
mit 120
km angegeben wird? Oder das durchschnittliche Sterbealter von Menschen
mit
74 Jahren? Was kann es kann es genauer heißen, wenn Vanessa im
Jahre 1993
und Ulrike im Jahre 1994 geboren wurde? Wann ist es wichtig, dass eine
Größe
exakt angegeben wird, wann ist ein Näherungswert sinnvoll?
Näherung im Geometrieunterricht
der GS: benachbarte Seitenflächen, zusammenstoßende Kanten,
innere, äußere,
Randpunkte, Umgebungen, Umfänge usw. Über
die herausragende Bedeutung des Funktionsbegriffs in allen Gebieten der
Mathematik
braucht hier nichts weiter gesagt zu werden, wenn es auch bemerkenswert
ist,
dass erst im 18. Jh. Funktionen zu einem Begriff wurden, zu
mathematischen
Objekten, die zu untersuchen sind. Allgemein
handelt es sich um eine Funktion, wenn jedem Element einer Menge genau
ein
Element einer (nicht notwendig anderen) Menge durch eine Vorschrift
zugeordnet
ist. Diese Zuordnung kann willkürlich festgelegt werden, oder
durch Zufall
gesteuert werden (jedem Wurf einer Serie mit zwei Würfeln die
Augensumme
z.B.) oder durch eine gesetzmäßige Bindung gestiftet werden
(jeder Zahl ihr
Doppeltes oder ihr Nachfolger oder ihre Quersumme, jedem Zahlenpaar die
Summe
oder das Produkt, jedem Quadrat sein Flächeninhalt oder sein
Umfang, jeder
Ware ihren Preis (Auszeichnungspflicht!), jedem lebenden Menschen sein
heutiges
Alter oder sein Geburtsort oder seine Mutter, jedem Zeitpunkt des Tages
eine
Zeigerstellung der Uhr, usw. usw.). Weite und Fülle sind
unbestreitbar. Die
gesetzmäßige Bindung, der wohl wichtigste Fall, kann
speziell kausaler Art
im physikalischen Sinne sein. So ist die Länge des Bremsweges
eines abgebremsten
Pkw (auch) eine Funktion der Geschwindigkeit des Pkw zu Beginn des
Bremsvorganges,
ein übrigens wichtiges Beispiel im Sachrechnen der GS (Tempo 30
und Schulweg!). Man
kann in der GS nicht zu einer Begriffsklärung von Funktion kommen,
aber der
Unterricht muss in Inhalt und Gestaltung von der Idee der Funktion
(funktionales
Denken) durchdrungen sein. In der Arithmetik können z.B. Folgen
(das sind
spezielle Funktionen) studiert werden, wobei sich die Schreibweise in
Doppellisten
anbietet. Etwa die Folge er Quadratzahlen Zahl
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ihre
Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 Wie
geht es weiter? Wie schreitet die Quadratzahlenfolge fort? Wie folgt
eine Quadratzahl aus ihrer Vorgängerin? Im
Sachrechnen wird durch die funktionale Sicht die in der Sachsituation
obwaltende
Gesetzmäßigkeit, die es aufzudecken gilt, besonders deutlich. Wenn
es z. B. um das Lesen eines Buches von bestimmter Seitenzahl, etwa 160
Seiten,
geht, so interessiert, wie die täglich zu erbringende
(durchschnittliche)
Leseleistung von der gewählten Anzahl der Lesetage abhängt.
Das Durchspielen
aller (ganzzahligen) Fälle zeigt den funktionalen Zusammenhang in
einer gegenläufig
symmetrischen Doppelliste: Anzahl
Lesetage .....1 2 4 5 8 10 16 20 32 40 80 160 Tägl.
Anzahl Seiten 160 80 40 32 20 16 10 8 5 4 2 1 Diese
ist natürlich mathematisch-sachkundlich zu untersuchen. Sie ist
übrigens
auch vorwärts weisend: Es gibt ein gutes, ja zwingendes Motiv, mit
Bruchzahlen
zu arbeiten. Hier
handelt es sich um eine FI, die mit grundlegenden logischen und
heuristischen
Fragestellungen zu tun hat, die ihrerseits in verschiedenen
mathematischen
Gebieten auftreten und auch im alltäglichen Denken und Handeln
eine Rolle
spielen. Bezüglich
Mengen im mathematischen Sinne handelt es sich um die
Teilmengenrelation,
und damit korrespondiert die logische Folgerungsbeziehung. Das sieht
auf
den ersten Blick eher speziell und wenig allgemein bedeutsam aus. Dem
ist
aber ganz und gar nicht so. Immer,
wenn es um eine Gesamtheit von Objekten irgendwelcher Art geht, etwa um
eine
Menge von Menschen, versucht man, darin Strukturen, Muster,
Auffälligkeiten
zu erkennen. Eine fundamentale Frage ist dabei, inwieweit sich Objekte
durch
bestimmte Eigenschaften (Merkmale) von anderen der Gesamtheit
unterscheiden.
Handelt es sich z.B. um die Kinder der Klasse, und damit sind wir beim
Sachrechnen
in der GS, so kann je nach Gesprächsthema interessieren: Wer ist
schon 8
Jahre alt? Wer ist Mitglied in einem Sportverein? Bei wem zählt
Bücherlesen
zu seinen Lieblingsbeschäftigungen? Wer hat in diesem Schuljahr
noch an keinem
Tag gefehlt? Usw. Jede hinreichend präzise Eigenschaft führt
zur Bildung
einer Teilmenge, die in den Extremen auch leer sein kann oder die
Gesamtheit
ausmacht. Es kommt indes nicht auf eine Wiederbelebung der Mengenlehre
seligen
Angedenkens mit ihren Trockenübungen zur Eintrichterung der
Mengensprache
an, sondern auf logische und arithmetische Aspekte in ihrem
Zusammenwirken. Beispiel:
Es kann bei Gelegenheit die Behauptung geäußert werden,
Mädchen seien lesefreudiger
als Jungen. Dieser Behauptung können wir durch eine anonyme
Befragung in
unserer Klasse nachgehen, etwa so: Jedes Kind notiert auf einem Zettel
sein
Geschlecht (M oder J) und ob Bücherlesen eine seiner
Lieblingsbeschäftigungen
ist (L oder N). Die Auswertung wird zweckmäßigerweise an
einer Vierfeldertafel
vorgenommen, wobei klar heraus gearbeitet wird, dass genau 4 Fälle
auf ein
Kind zutreffen können( M und L, J und L, M und N, J und N), denen
die 4 Felder
zugeordnet werden. .Spannend ist es nun, zu verfolgen, wie sich die
Kinder
unserer Klasse, ohne dass wir wissen, um wen es sich je handelt, auf
die
4 Felder verteilen. War das Ergebnis zu erwarten? Passt das Ergebnis
zur
Behauptung? Was ist besonders auffällig? Usw. Vor allem muss
diskutiert werden,
was alles möglich gewesen wäre, insbesondere an extremen
Fällen. Was ist
z. B., wenn eins der 4 Felder leer bleibt, etwa das Feld mit J und L?
Es
gäbe dann keinen Jungen, zu dessen Lieblingsbeschäftigungen
Bücherlesen gehört.
Alle Kinder, die sehr gern lesen, wären dann Mädchen. Aber
wären dann auch
alle Mädchen Leseratten? Nein, es wäre ja sogar möglich,
dass auch das Feld
mit M und L leer ist, dann gäbe es in der Klasse überhaupt
kein Kind, das
sehr gern liest. Usw. Die Vierfeldertafel ist jedenfalls ein Instrument
von
erstaunlicher Leistungsfähigkeit im Überschneidungsgebiet von
Logik und Statistik. "Einfacher"
als dieses Beispiel von doppelter Unterteilung aber doch auch reizvoll,
sind
Problemaufgaben der folgenden Art: Eine GS wird von 181 Kindern
besucht,
es sind 7 Mädchen weniger als Jungen. Wie viele
Mädchen/Jungen besuchen diese
Schule? (Oder: Wie alt ist die Rektorin?) Zu lösen natürlich
ohne Gleichungsformalismus,
vielmehr über eine anschauliche Darstellung, die den Zusammenhang
auf den
Punkt bringt: Mädchen
MMMM......M Jungen.
J J J J ......J J J J J J J J Die
Teil-Ganzes-Relation als Teilmengenrelation in der Arithmetik: Ab der
2.
Klasse interessieren u.a. Fragen des Multiplizierens und Dividierens.
Welche
Zahlen (etwa von allen unter 100) sind durch 7 teilbar (= Vielfache von
7),
welche sind durch 5 aber nicht durch 8 teilbar, welche sind Nachbarn
von
Zahlen, die durch 6 teilbar sind,... ? Eine schier unerschöpfliche
Menge
von Fragen. Zusammenhänge aufzudecken, ist dabei das wesentliche,
etwa: Wenn
eine Zahl durch 8 teilbar ist (= in der Achterreihe vorkommt), dann ist
sie
auch (und erst recht) durch 4 teilbar (aber nicht umgekehrt!). Die
durch
8 teilbaren Zahlen machen einen Teil der durch 4 teilbaren aus,
Achterzahlen
sind spezielle Viererzahlen. Von 1 bis 100 gibt es 24 Viererzahlen, 12
davon
sind auch Achterzahlen (Zusammenhang Teiler-Relation und
Teilmengenrelation!). Die
Teil-Ganzes-Relation als Teilmengenrelation im Geometrieunterricht:
Geht
es um flächige (ebene) Figuren, so interessieren Merkmale, die
sich auf die
Flächengröße oder den Umfang oder die Gestalt
oder....beziehen. Allein wirklich
einzusehen, dass Quadrate spezielle Rechtecke (und Rechtecke spezielle
Vierecke
und Vierecke spezielle ...) sind, ist eine lohnende geistige
Bemühung, die
wie die Praxis lehrt, keinesfalls trivial ist. In einer Klasse hat
einmal
eine Schülerin die Sache so auf den Punkt gebracht: "Quadrat und
Rechteck,
das ist so wie Schimmel und Pferd". Prof. Heinrich Winter, Juli 2001 |
start : mathematik : Inhalte - Fundamentale Ideen nach Winter |