Zu beweisen: (1+2+3+…+n)² = 1³+2³+3³+…+n³

Induktionsanfang:

Wie unter A.
Oder mit n = 1: 1² = 1³ ✓

Induktionsschritt:

Angenommen, die obige Formel sei für eine Zahl k richtig: (1+2+3+…+k)² = 1³+2³+3³+…+k³.
Dann gilt sie auch für die nächste Zahl, k+1:

1³ + 2³ + 3³ + … + (k+1)³
= 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k+1)³
= (1 + 2 + 3 + … + k)² + (k+1)³
= (½ · k · (k+1))² + (k+1)³
= ¼ · k² · (k+1)² + (k+1)³
= ¼ · k² · (k+1)² + (k+1)(k+1)²
= (¼ · k² + k+1) · (k+1)²
= ¼ · (k²+4k+4) · (k+1)²
= ¼ · (k+2)² · (k+1)²
= (½ · (k+1) · (k+2))²
= (1 + 2 + 3 + … + (k+1))² ✓